Question

如图，已知△AOB，∠AOB＝，∠BAO＝，AB＝4，D为线段AB的中点．若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的．记二面角B－AO－C的大小为．

（Ⅰ）当平面COD⊥平面AOB时，求的值；

（Ⅱ）当∈[，]时，求二面角C－OD－B的余弦值的取值范围．

Answer

（Ⅰ）如图，以O为原点，在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴，OB，OA所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz，则A (0，0，2)，B (0，2，0)， D (0，1，)，C (2sin，2cos，0)．设＝(x，y，z)为平面COD的一个法向量，

由 得，

取z＝sin，则＝(cos，－sin，sin)．

因为平面AOB的一个法向量为＝(1，0，0)，

由平面COD⊥平面AOB得＝0，

所以cos＝0，即＝．         ………………7分

（Ⅱ）设二面角C－OD－B的大小为，由(Ⅰ)得当＝时， cos＝0；

当∈(，]时，tan≤－，

cos= ＝＝－， 故－≤cos＜0．

综上，二面角C－OD－B的余弦值的取值范围为[－，0]．

【解析】（1）平面COD⊥平面AOB，建立坐标系，根据法向量互相垂直求得；（Ⅱ）求两个平面的法向量的夹角。