Question

（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，，，是的中点．

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）试问线段上是否存在点，使与成角？若存在，确定点位置，若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）证明：连结，交于点，连结.

由 是直三棱柱，

得 四边形为矩形，为的中点.

又为中点，所以为中位线，

所以 ∥，         ………………2分

因为 平面，平面，

所以 ∥平面.    ………………4分

（Ⅱ）【解析】
由是直三棱柱，且，故两两垂直.

如图建立空间直角坐标系.                           ………………5分

设，则.

所以 ，              

设平面的法向量为，则有

所以  取，得.            ………………7分

易知平面的法向量为.                       ………………8分

由二面角是锐角，得 .      ………………9分

所以二面角的余弦值为.

（Ⅲ）【解析】
假设存在满足条件的点.

因为在线段上，，，故可设，其中.

所以 ，.                    ………………11分

因为与成角，所以.              ………………12分

即，解得，舍去.           ………………13分

所以当点为线段中点时，与成角.         ………………14分

【解析】略