Question

（本小题满分14分）如图，正三棱柱的侧棱长和底面边长均为，是的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：∥平面；

（Ⅲ）求三棱锥的体积．

Answer

（Ⅰ）证明：因为是正三棱柱，

所以 平面.

又 平面，

所以 .              ………………3分

因为 △是正三角形，是的中点，

所以 ，                                         ………………4分

所以 平面.                                  ………………5分

（Ⅱ）证明：连结，交于点，连结.

由 是正三棱柱，

得 四边形为矩形，为的中点.

又为中点，所以为中位线，

所以 ∥，                                         ………………8分

因为 平面，平面，

所以 ∥平面.                                   ………………10分

（Ⅲ）【解析】
因为 ，                             ………………12分

所以 .                       ………………14分

【解析】略