Question

已知函数（），且.

（Ⅰ）试用含有的式子表示，并求的极值；

（Ⅱ）对于函数图象上的不同两点，，如果在函数图象上存在点（其中），使得点处的切线，则称存在“伴随切线”. 特别地，当时，又称存在“中值伴随切线”. 试问：在函数的图象上是否存在两点、使得它存在“中值伴随切线”，若存在，求出、的坐标，若不存在，说明理由.

Answer

（Ⅰ），

当时，的极大值为

（Ⅱ）在函数上不存在两点、使得它存在“中值伴随切线”.理由略

【解析】（Ⅰ）的定义域为，

，，.          ……………2分

代入，得.

当时，，由，得，

又，，即在上单调递增；

当时，，由，得，……………4分

又，，即在上单调递减.

在上单调递增，在上单调递减.                  

所以，当时，的极大值为  ………………6分

（Ⅱ）在函数的图象上不存在两点、使得它存在“中值伴随切线”.

假设存在两点，，不妨设，则

，，

，

在函数图象处的切线斜率

，

由

化简得：，.

令，则，上式化为：，即，

若令，

，

由，，在在上单调递增，.

这表明在内不存在，使得=2.

综上所述，在函数上不存在两点、使得它存在“中值伴随切线”.…………13分