Question

（12分）如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点。

    （1）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；

    （2）在CC1上是否存在一点E，使得∠BA1E＝45°，若存在，试确定E的位置，并判断平面A1BD与平面BDE是否垂直？若不存在，请说明理由。

Answer

略

【解析】（1）∵AB＝B1B

∴四边形ABB1A1为正方形，

∴A1B⊥AB1

又∵AC1⊥面A1BD，

∴AC1⊥A1B，

∴A1B⊥面AB1C1，

∴A1B⊥B1C1

又在直棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥B1C1，

∴B1C1⊥平面ABB1A1…………………………………………6分

（2）证明：设AB＝BB1＝a，CE＝x，

∵D为AC的中点，且AC1⊥A1D，

∴A1B＝A1C1＝a

又∵B1C1⊥平面ABB1A1，B1C1⊥A1B1

∴B1C1＝a，BE＝，

A1E＝，

在△A1BE中，由余弦定理得

BE2＝A1B2＋A1E2－2A1B·A1E·cos45°，

即a2＋x2＝2a2＋3a2＋x2－2ax－2·a·，

∴＝2a－x，解得x＝a，即E是C1C的中点

∵  D．E分别为A    C．C1C的中点，∴DE∥AC1

∵AC1⊥平面A1BD，∴DE⊥平面A1BD

又∵PE平面BDE，∴平面ABD⊥平面BDE…………………………12分