Question

（本题满分12分）

如图，有一正方形钢板缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线是以直线AD为对称轴，以线段的中点为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．

Answer

解法一：以为原点，直线为轴，

建立如图所示的直角坐标系，依题意

可设抛物线弧的方程为

∵点的坐标为，

∴，

故边缘线的方程为. ……4分

要使梯形的面积最大，则所在的直线必与抛物线弧相切，设切点坐标为，

∵，

∴直线的的方程可表示为，即，…………6分

由此可求得，.

∴，，…8分

设梯形的面积为，则

.  ……………………………………………………………10分

∴当时，，

故的最大值为.  此时.………11分

答：当时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为.   ………………………………………………………………………12分

解法二：以为原点，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线弧的方程为

∵点的坐标为，

∴， 

故边缘线的方程

为. ………4分

要使梯形的面积最大，则所在的直线必与抛物线弧相切，设切点坐标为，

∵，

∴直线的的方程可表示为，即，…6分

由此可求得，.

∴，，……………7分

设梯形的面积为，则

.  ……………………………………………………………10分

∴当时，，

故的最大值为.  此时.………11分

答：当时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为.   ………………………………………………………………………12分

【解析】略