Question

(本题满分15分) 已知实数a满足1＜a≤2，设函数f (x)＝x³－x²＋ax．

(Ⅰ) 当a＝2时，求f (x)的极小值；

(Ⅱ) 若函数g(x)＝4x³＋3bx²－6(b＋2)x (b∈R) 的极小值点与f (x)的极小值点相同，

求证：g(x)的极大值小于等于10．

Answer

(Ⅰ) f (x)的极小值为f (2)＝．

(Ⅱ)略

【解析】(Ⅰ)【解析】
当a＝2时，f ′(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

         列表如下：

x

(－，1)

1

(1，2)

2

(2，＋)

f ′(x)

＋

0

－

0

＋

f (x)

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

所以，f (x)的极小值为f (2)＝．…………………………………6分

 (Ⅱ) 【解析】
f ′(x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)．

由于a＞1，

所以f (x)的极小值点x＝a，则g(x)的极小值点也为x＝a．

而g ′ (x)＝12x2＋6bx－6(b＋2)＝6(x－1)(2x＋b＋2)，

所以，

即b＝－2(a＋1)．

又因为1＜a≤2，

所以  g(x)极大值＝g(1)

＝4＋3b－6(b＋2)

＝－3b－8

＝6a－2

≤10．

故g(x)的极大值小于等于10．…………………………15分