Question

（本题满分15分）已知数列中，，（n∈N*），

   （1）试证数列是等比数列，并求数列{}的通项公式；

   （2）在数列{}中，求出所有连续三项成等差数列的项；

   （3）在数列{}中，是否存在满足条件1＜r＜s的正整数r ，s ，使得b₁，b_r，b_s成等差数列？若存在，确定正整数r，s之间的关系；若不存在，说明理由．

Answer

（1）（2）有且仅有连续三项b2，b3，b4成等差数列

（3）存在不小于4的正偶数s，且s＝r＋1，使得b1，br，bs成等差数列

【解析】    【解析】
（1）证明: 由，得an＋1＝2n—an，

    ∴,

    ∴数列是首项为,公比为的等比数列．………………3分

    ∴ , 即，

    ∴…………………………………………………………………………5分

   （2）【解析】
假设在数列{bn}中，存在连续三项bk－1，bk，bk＋1（k∈N*, k≥2）成等差数列，则bk－1＋bk＋1＝2bk，即，

    即＝4………………………………………………………………7分

    若k为偶数，则＞0，4＝－4＜0，所以，不存在偶数k，使得

    bk－1，bk，bk＋1成等差数列。…………………………………………………………8分

    若k为奇数，则k≥3，∴≥4，而4＝4，所以，当且仅当k＝3时，

    bk－1，bk，bk＋1成等差数列。

    综上所述，在数列{bn}中，有且仅有连续三项b2，b3，b4成等差数列。…………10分

   （3）要使b1，br，bs成等差数列，只需b1＋bs＝2 br，

    即3＋＝2[],即， ①

   （ⅰ）若s＝r＋1，在①式中，左端＝0，右端＝，要使①式成立，当且仅当s为偶数时成立。又s＞r＞1，且s，r为正整数，所以，当s为不小于4的正偶数，且s＝r＋1时，b1，br，bs成等差数列。……………………………………………………………13分

   （ⅱ）若s≥r＋2时，在①式中，左端≥＝＞0，右端≤0，∴当s≥r＋2时，b1，br，bs不成等差数列。

    综上所述，存在不小于4的正偶数s，且s＝r＋1，使得b1，br，bs成等差数列。…15分