Question

（本小题14分）

某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．

（1）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求；

（2）现有两个奖励函数模型：（1）y＝；（2）y＝4lgx－3．试分析这两个函数模型是否符合公司要求？

Answer

（1）当x∈[10，1000]时，①f（x）是增函数；②f（x）≤9恒成立；③恒成立

（2）所以g（x）在[10，1000]上是减函数，从而g（x）≤g（10）＝－1＜0．

所以4lgx－3－＜0，即4lgx－3＜，所以恒成立

【解析】【解析】
（1）设奖励函数模型为y＝f（x），则公司对函数模型的基本要求是：

当x∈[10，1000]时，①f（x）是增函数；②f（x）≤9恒成立；③恒成立…5分

（2）①对于函数模型：

当x∈[10，1000]时，f（x）是增函数，     …………………… 6分

则．所以f（x）≤9恒成立．… 8分                      因为函数在[10，1000]上是减函数，所以．

从而，即不恒成立．

故该函数模型不符合公司要求．       ………………………… 10分

②对于函数模型f（x）＝4lgx－3：

当x∈[10，1000]时，f（x）是增函数，            …………… 11分

则．所以f（x）≤9恒成立．……… 13分                       

设g（x）＝4lgx－3－，则．

当x≥10时，，

所以g（x）在[10，1000]上是减函数，从而g（x）≤g（10）＝－1＜0．

所以4lgx－3－＜0，即4lgx－3＜，所以恒成立．

故该函数模型符合公司要求．………………………… 15分