Question

（12分）根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为；

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）写出y₁，y₂，y₃，y₄，由此猜想出数列{y_n}的一个通项公式y_n，并证明你的结论；

（Ⅲ）求

                 

Answer

（Ⅰ）  

（Ⅱ）=3n－1（） ，证明略

（Ⅲ）略

【解析】【解析】
（Ⅰ）由框图，知数列  ………2分

∴                ………4分

（Ⅱ）由框图，知数列{yn}中，yn+1=3yn+2           ………5分

∴                                     ………6分

∴     ∴数列{yn+1}是以3为首项，3为公比的等比数列。

∴+1=3·3n－1=3n

∴=3n－1（）                             ………8分

（Ⅲ）zn=

=1×（3－1）+3×（32－1）+…+（2n－1）（3n－1）

=1×3+3×32+…+（2n－1）·3n－[1+3+…+（2n－1）]            ………9分

记Sn=1×3+3×32+…+（2n－1）·3n，①

则3Sn=1×32+3×33+…+（2n－1）×3n+1  ②

①－②，得－2Sn=3+2·32+2·33+…+2·3n－（2n－1）·3n+1

=2（3+32+…+3n）－3－（2n－1）·3n+1

=2×=