Question

（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分别为PA、BC的中点， PD⊥平面ABCD，且PD=AD=，CD=1.

   （Ⅰ）证明：MN∥平面PCD；

   （Ⅱ）证明：MC⊥BD；

   （Ⅲ）求二面角A—PB—D的余弦值.

Answer

（1）略

（2）略

（3）

【解析】【解析】
（Ⅰ）证明：取AD中点E，连接ME，NE，

    由已知M，N分别是PA，BC的中点， 

∴ME∥PD，NE∥CD

    又ME，NE平面MNE，MENE=E，

    所以，平面MNE∥平面PCD，又MN平面MNE

      所以，MN∥平面PCD            ……………4分

（Ⅱ）因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥DA，PD⊥DC，

    在矩形ABCD中，AD⊥DC，

    如图，以D为坐标原点，射线DA，DC，DP分别为

    轴、轴、轴正半轴建立空间直角坐标系.

    则D（0，0，0），A（，0，0），

B（，1，0），（0，1，0）， P（0，0，）      

    所以（，0，），，  

    ∵·=0，所以MC⊥BD         ……………8分

   （Ⅲ）因为ME∥PD，所以ME⊥平面ABCD，ME⊥BD，又BD⊥MC，

    所以BD⊥平面MCE, 所以CE⊥BD，又CE⊥PD，所以CE⊥平面PBD，

    由已知，所以平面PBD的法向量

    M为等腰直角三角形PAD斜边中点，所以DM⊥PA，

    又CD⊥平面PAD，AB∥CD，所以AB⊥平面PAD，AB⊥DM，所以DM⊥平面PAB，

    所以平面PAB的法向量（-，0，），设二面角A—PB—D的平面角为θ，

    则.    所以，二面角A—PB—D的余弦值为.      ……………12分