Question

．在矩形ABCD中，AB = 4，BC = 3，沿对角线AC把矩形折成二面角D-AC-B，并且D点在平面ABC内的射影落在AB上．若在四面体D-ABC内有一球，当球的体积最大时，球的半径是          .

Answer

【解析】  当球的体积最大时，球与三棱锥D -ABC 的各面相切，设球队半径为R ，则VD -ABC = VO -ABC +VO -DAC + VO -DBA + VO -DAB = R(S△ABC + S△DAC + S△DBC + S△DAB).由题设易知AD⊥平面DBC, 又∵BD平面DBC，∴AD⊥BD，∴△ABD为直角三角形，∵AB = 4，AD = 3，∴BD = ，∴S△ABC = AD·BD = ×3×= .在△DAB和△DBC中，∵AD = BC，AB = DC，DB = DB，∴△DAB≌△BCD，故S△DBC = ，VD -ABC = VA –DBC = ×3×= ，∴S△ABC = S△ADC = 6，∴R(6 + 6 + + )，于是( 4 + )R = ， 解得R =