Question

已知函数.

（1）试判断函数F（x）=(x²+1) f (x) – g(x)在[1，+∞)上的单调性；

（2）当0＜a＜b时，求证：函数f (x) 定义在区间[a,b]上的值域的长度大于（闭区间[m，n]的长度定义为n –m）．

（3）方程f(x)=是否存在实数根？说明理由。

Answer

（1）单调递增

（2）略

（3）不存在实数根

【解析】（1）∵F（x）=(x2+1)lnx –2x+2．

∴F ′（x）= 2xlnx+．

∴当x≥1时，F′（x）≥0且仅当x = 1时F′（x）= 0 ∴F（x）在（1，+∞）上单调递增。

（2）∵0＜a＜b,f (x)在

 ∴要证值域的长度大于，

 即证lnb –lna＞ 

 只要证ln 

∵0＜a＜b,∴令 

则只要证lnx＞  （x>1）

即证（x2+1）lnx –(2x –2)>0  (※)

由（1）可知F(x)在（1，+∞）上单调递增 ∴F（x）＞F（1）= 0 所以（※）式成立．

∴f (x)在[a, b]上的值域的长度大于．……9分

（3）∵f (x) =  xlnx= 

令h (x) = xlnx(x>0)．则h ′（x）=lnx+1，

易知，在上单调递减，在上单调递增

当时，

令，则

易知，在上单调递增，在上单调递减

当时，

∵∴方程f(x)=不存在实数根