Question

（本小题满分14分）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线在y轴上的截距为m（m≠0），交椭圆于A、B两个不同点。

（1）求椭圆的方程；

（2）求m的取值范围；

（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。

Answer

（1）

（2）

（3）略

【解析】【解析】
（1）设椭圆方程为……………………………1分

则…………………………………………3分

∴椭圆方程为………………………………………………4分

（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m

又KOM=

……………………………………………………5分

由……………………………………6分

∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，

（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可…………9分

设

则,

由

……………………………………………………10分

而

故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.…………………………14分