Question

设函数.

(I )讨论f(x)的单调性；

(II) ( i )若证明：当x>6 时，

(ii)若方程f(x)=a有3个不同的实数解，求a的取值范围.

Answer

（Ⅰ）f¢(x)＝－e－x[x2－(a＋2)x＋2a]＝－e－x(x－2)(x－a)．      …1分

（1）若a＝2，则f¢(x)≤0，f(x)在(－∞，＋∞)单调递减．           …2分

（2）若0≤a＜2，当x变化时，f¢(x)、f(x)的变化如下表：

x

(－∞，a)

a

(a，2)

2

(2，＋∞)

f¢(x)

－

0

＋

0

－

f(x)

↘

极小值ae－a

↗

极大值(4－a)e－2

↘

此时f(x)在(－∞，a)和(2，＋∞)单调递减，在(a，2)单调递增．      …3分

（3）若a＞2，当x变化时，f¢(x)、f(x)的变化如下表：

x

(－∞，2)

2

(2，a)

a

(a，＋∞)

f¢(x)

－

0

＋

0

－

f(x)

↘

极小值(4－a)e－2

↗

极大值ae－a

↘

此时f(x)在(－∞，2)和(a，＋∞)单调递减，在(2，a)单调递增．      …4分

（Ⅱ）（ⅰ）若a＝0，则f(x)＝x2e－x，f(x)＜即x3＜ex．

当x＞6时，所证不等式等价于x＞3lnx，

设g(x)＝x－3lnx，当x＞6时，g¢(x)＝1－＞0，g(x)单调递增，

有g(x)＞g(6)＝3(2－ln6)＞0，即x＞3lnx．

故当x＞6时，f(x)＜．                                         …6分

（ⅱ）根据（Ⅰ），

（1）若a＝2，方程f(x)＝a不可能有3个不同的实数解．             …7分

【解析】略