Question

（本小题满分16分）如图，平面直角坐标系中，和为等腰直角三角形，,设和的外接圆圆心分别为.

（Ⅰ）若圆M与直线相切，求直线的方程；

（Ⅱ）若直线截圆N所得弦长为4，求圆N的标准方程；

（Ⅲ）是否存在这样的圆N，使得圆N上有且只有三个点到直线的距离为，若存在，求此时圆N的标准方程；若不存在，说明理由.

Answer

【解析】
（1）圆心，所以圆的方程为，

直线的方程为.

圆与直线相切，圆心到直线的距离，

化简得：.

直线的方程为.   ·······························5分

（2）直线方程为：，圆心，

圆心到直线的距离为.

直线截圆的弦长为4， （负值舍去）

所以圆的标准方程为.····················10分

（3）存在。

由（2）知，圆心到直线的距离为（定值），且始终成立，

当且仅当圆半径即时，

圆上有且只有三个点到直线的距离为.

此时，圆的标准方程为························16分

【解析】略