Question

如图，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．

（1）求椭圆的方程．

（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．

问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由．

Answer

【解析】
（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0．

依题意 解得

∴ 椭圆方程为．                 …………………………………………6分

（2）假若存在这样的k值，由得．

∴ ①        ………………………………8分

设，、，，则 ②

而．      ……………………12分

要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，即  ∴ ③            ……………………14分

将②式代入③整理解得．经验证，，使①成立．

综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E．          ……………………16分

【解析】略