Question

设函数（提示 ：）

（1）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；

（2） 若，证明对任意的正整数n，不等式都成立.

Answer

（1）∵.

又函数f(x)在定义域上是单调函数 ∴f/ (x) ≥0或f/(x)≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立.若f/ (x) ≥0，∵x + 1＞0，∴2x2 +2x+b≥0在( - 1，+ ∞)上恒成立.

即b≥-2x2 -2x = 恒成立,由此得b≥.    

若f/ (x) ≤0, ∵x + 1＞0, ∴2x2 +2x+b≤0,即b≤-(2x2+2x)恒成立，

因-(2x2+2x) 在( - 1，+ ∞)上没有最小值.

∴不存在实数b使f(x) ≤0恒成立.        综上所述，实数b的取值范围是.

（2）当b= - 1时，函数f(x) = x2 - ln(x+1)

令函数h(x)=f(x) – x3 = x2 – ln(x+1) – x3.

则h/(x) = - 3x2 +2x - .

∴当时，h/(x)＜0所以函数h(x)在上是单调递减. -----10分

又h(0)=0，∴当时，恒有h(x) ＜h(0)=0,

即x2 – ln(x+1) ＜x3恒成立.故当时,有f(x) ＜x3.

∵取则有＜.

【解析】略