Question

（本小题满分14分）

   如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面，△是等边三角形，， ，是线段的中点．

  

（Ⅰ）求证：；

   （Ⅱ）求四棱锥的体积；

（Ⅲ）求与平面所成角的正弦值．

Answer

（1）略（2）（3）

【解析】（Ⅰ）证明：因为侧面，平面， 

所以．……………………………………………………………2分

     又因为△是等边三角形，是线段的中点，

所以．

     因为，

所以平面．…………………………………………………4分

     而平面，

所以．……………………………………………………………5分

（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）知：平面，所以是四棱锥的高．

由，，可得．

因为△是等边三角形，

可求得．

所以．………………9分

（Ⅲ）【解析】
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．

 则，，，．

，，．

设为平面的法向量．

由   即

令，可得．………………………12分

设与平面所成的角为．

．

所以与平面所成角的正弦值为． …………………………………14分