Question

（本小题满分14分）

    设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数,圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列．

    （1）证明：为等比数列；

    （2）设，求数列的前项和．

Answer

（1）略

（2）Sn= – （n+）·

【解析】【解析】
（Ⅰ）将直线y=x的倾斜角记为 ，

则有tan = ，sin =．…………．1分

设Cn的圆心为（，0），则由题意知= sin = ，

得 = 2 ；    ……… …………．3分

同理，依题意知   ………………5分

将 = 2代入，

解得 rn+1=3rn．

故{ rn }为公比q=3的等比数列．                  ………………7分

（Ⅱ）由于r1=1，q=3，故rn=3n-1，从而 =n·，………………9分

记Sn=，

则有 Sn=1+2·3-1+3·3-2+………+n·．   ①

=1·3-1+2·3-2+………+（n-1） ·+n·．  ②        ………………11分

①-②，得

=1+3-1 +3-2+………+-n·        ………………………12分

=- n·

= –（n+）·         ………………………………13分

Sn= – （n+）·．     ………………………………14分