Question

（本小题满分14分）

如图, 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，，AA₁＝4，点D是AB的中点。

（1）求证：AC ⊥ BC₁；

（2）求证：AC ₁  // 平面CDB₁；

（3）求多面体的体积。

Answer

（1）∵底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，∴ AC⊥BC，       （2分）

又在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC底面ABC，∴CC1⊥AC，（3分）

BC、CC1平面BCC1，且BC 与CC1相交       ∴ AC⊥平面BCC1；        （5分）

而BC1平面BCC1                           ∴ AC⊥BC1                                                              （6分）

（2）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，

∵ D是AB的中点，E是BC1的中点，   ∴ DE//AC1，                     （8分）

∵ DE平面CDB1，AC1平面CDB1，     ∴ AC1//平面CDB1                                 （10分）

（3）  （11分）=-   （13分）

=20                                                   （14分）

【解析】略