Question

（本题满分12分）

已知函数．

（I）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；

（II）令，是否存在实数，使得当时，函数的最小值是，若存在，求出实数的值，若不存在，说明理由？

（III）当时，证明：．

Answer

（I）                   …………………………………1分

在上单调递减，因此当时，恒成立

即，化简得，

令，即，………………………………4分

（II），          …………………………………5分

当时,单调递减；单调递增；

当时，单调递减，

综上                                     ………………………………8分

（III）由（II）可知

令，，        …………………………………9分

当时，，单调递增，

即恒成立                 …………………………………12分

【解析】略