Question

(本小题满分14分)

将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

 

    

      

………………………

记表中的第一列数构成的数列为，．为数列的前项和，且满足．

（1）证明：；

（2）求数列的通项公式；

（3）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当时，求上表中第行所有项的和．

Answer

（1）证明：由已知，当时，，，

所以，   即，     -----------2分

所以  ．                                              ------------3分

（2）又．                                            ------------4分

由（1）可知，数列是首项为1，公差为的等差数列．            ------------5分

所以 ，

即．                                                     ------------6分

所以当时，．                -----------7分

因此                                        -------------8分

（3）【解析】
设上表中从第三行起，每行的公比都为，且．

因为，                                 ------------9分

所以表中第1行至第13行共含有数列的前91项，

故在表中第14行第三列，                                         ------------10分

因此．                                           ------------11分

又，

所以．                                                        ------------12分

记表中第行所有项的和为，

则．          -----------14分

【解析】略