Question

已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于B，D两点，过的直线交椭圆于A，C两点，且，垂足为P．

（Ⅰ）设P点的坐标为，证明：；

（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．

Answer

（理科学生做）. 证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距，

由知点在以线段为直径的圆上，

故，

所以，．

（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．

设，，则

，，

；

因为与相交于点，且的斜率为．

所以，．

四边形的面积

．

当时，上式取等号．

（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．

综上，四边形的面积的最小值为．

【解析】略