Question

（本小题满分12分）

如图，正三棱柱的所有棱长都为

，为中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求点到平面的距离．

Answer

（Ⅰ）平面

（Ⅱ）二面角的大小为

（Ⅲ）点到平面的距离为

【解析】解法一：（Ⅰ）取中点，连结．

为正三角形，．

正三棱柱中，平面平面，

平面．

连结，在正方形中，分别为

的中点，

，

．

在正方形中，，

平面．

（Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（Ⅰ）得平面．

，

为二面角的平面角．

在中，由等面积法可求得，

又，

．

所以二面角的大小为．

（Ⅲ）中，，．

在正三棱柱中，到平面的距离为．

设点到平面的距离为．

由得，

．

点到平面的距离为．

解法二：（Ⅰ）取中点，连结．

为正三角形，．

在正三棱柱中，平面平面，

平面．

取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，

，，．

，，

，．

平面．

（Ⅱ）设平面的法向量为．

，．

，，

令得为平面的一个法向量．

由（Ⅰ）知平面，

为平面的法向量．

，．

二面角的大小为．

（Ⅲ）由（Ⅱ），为平面法向量，

    ．

    点到平面的距离