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(本小题满分12分) 如图,在三棱锥中, 侧面与侧面均为等边三角形, 为中点. ...

(本小题满分12分)

如图,在三棱锥6ec8aac122bd4f6e中, 侧面6ec8aac122bd4f6e与侧面6ec8aac122bd4f6e均为等边三角形, 6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e 为6ec8aac122bd4f6e中点.

(Ⅰ)证明:6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e

(Ⅱ)求二面角6ec8aac122bd4f6e的余弦值.

      6ec8aac122bd4f6e

 

(Ⅰ)平面 (Ⅱ)二面角的余弦值为 【解析】证明: (Ⅰ)由题设AB=AC=SB=SC=SA. 连结OA,△ABC为等腰直角三角形,所以OA=OB=OC=SA,且AO⊥BC. 又△SBC为等腰三角形,故SO⊥BC,且 SO=SA, 从而OA2+SO2 =SA2,               ……3分 所以△SOA为直角三角形,. 又AO∩BC=O, 所以SO⊥平面ABC.                ……6分 (Ⅱ)解法一: 取SC中点M, 连结AM, OM, 由(Ⅰ)知, 得OM⊥SC,AM⊥SC. 为二面角的平面角.                             ……9分 由AO⊥BC,AO⊥SO,SO∩BC得 AO⊥平面SBC, 所以AO⊥OM. 又,故 所以二面角的余弦值为                             ……12分 解法二: 以O为坐标原点,射线OB、OA分别为x轴、y轴的正半轴,建立如图的空间直角坐标系 设B(1,0,0),则 SC的中点 ,. 故MO⊥SC,MA⊥SC,等于二面角的平面角.  ……9分 所以二面角的余弦值为                             ……12分
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说明: 6ec8aac122bd4f6e

 

 

 

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