Question

（本题15分）设，对任意实数，记．

（I）求函数的单调区间；

（II）求证：（ⅰ）当时，对任意正实数成立；

（ⅱ）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．

Answer

（I）函数的单调递增区间是，，

单调递减区间是．

（II）当时，对任意正实数成立．

（ⅱ）有且仅有一个正实数，

使得对任意正实数成立．

【解析】（I）【解析】
．

由，得

．

因为当时，，

当时，，

当时，，

故所求函数的单调递增区间是，，

单调递减区间是．

（II）证明：（i）方法一：

令，则

，

当时，由，得，

当时，，

所以在内的最小值是．

故当时，对任意正实数成立．

方法二：

对任意固定的，令，则

，

由，得．

当时，．

当时，，

所以当时，取得最大值．

因此当时，对任意正实数成立．

（ii）方法一：

．

由（i）得，对任意正实数成立．

即存在正实数，使得对任意正实数成立．

下面证明的唯一性：

当，，时，

，，

由（i）得，，

再取，得，

所以，

即时，不满足对任意都成立．

故有且仅有一个正实数，

使得对任意正实数成立．

方法二：对任意，，

因为关于的最大值是，所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是：

，

即，                 ①

又因为，不等式①成立的充分必要条件是，

所以有且仅有一个正实数，

使得对任意正实数成立．