Question

（本小题满分12分）

设动点P到点A(－l，0)和B(1，0)的距离分别为d₁和d₂，

∠APB＝2θ,且存在常数λ(0＜λ＜1＝,使得d₁d₂ sin²θ＝λ．

   （1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；

   （2）过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两

点,试确定λ的范围,使·＝0,其中点

O为坐标原点．

                          

Answer

（1）动点P的轨迹C为双曲线，方程为：

（2）．由①②知

【解析】解法一：（1）在中，，即，

，即（常数），

点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线．

方程为：．

（2）设，

①当垂直于轴时，的方程为，，在双曲线上．

即，因为，所以．

②当不垂直于轴时，设的方程为．

由得：，

由题意知：，

所以，．

于是：．

因为，且在双曲线右支上，所以

．

由①②知，．

解法二：（1）同解法一

（2）设，，的中点为．

①当时，，

因为，所以；

②当时，．

又．所以；

由得，由第二定义得

．

所以．

于是由得

因为，所以，又，

解得：．由①②知．