Question

（本小题满分14分）

在数列中，，其中．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和；

（Ⅲ）证明存在，使得对任意均成立．

Answer

（Ⅰ）

（Ⅱ）当时，①式减去②式，数列的前项和

当时，．这时数列的前项和

（Ⅲ）存在，使得对任意均成立。

【解析】（Ⅰ）解法一：，

，

．

由此可猜想出数列的通项公式为．

以下用数学归纳法证明．

（1）当时，，等式成立．

（2）假设当时等式成立，即，

那么

．

这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立．

解法二：由，，

可得，

所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为．

（Ⅱ）【解析】
设， ①

②

当时，①式减去②式，

得，

．

这时数列的前项和．

当时，．这时数列的前项和．

（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：

． ③

由知，要使③式成立，只要，

因为

．

所以③式成立．

因此，存在，使得对任意均成立．