（本小题共13分）
某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．
（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；
（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．
（III）从合唱团中任选两名学生，用
表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望
．
（本小题共14分）
矩形
的两条对角线相交于点
，
边所在直线的方程为
，点
在
边所在直线上．
（I）求边所在直线的方程；
（II）求矩形外接圆的方程；
（III）若动圆
过点
，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．
（本小题共14分）
如图，在
中，
，斜边
．
可以通过以直线
为轴旋转得到，且二面角
是直二面角．动点
的斜边
上．
（I）求证：平面
平面
；
（II）当为的中点时，求异面直线与
所成角的大小；
（III）求与平面所成角的最大值．
（本小题共13分）
数列
中，
，
（
是常数，
），且
成公比不为
的等比数列．
（I）求的值；
（II）求的通项公式．
已知函数
，
分别由下表给出
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
1 |
3 |
1 |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
3 |
2 |
1 |
则
的值为 ；满足
的
的值是 ．
2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为
，那么
的值等于 ．
