Question

    已知函数

    （Ⅰ）求函数的单调区间;

    （Ⅱ）是否存在实数,使不等式对恒成立,若存在,求实数的取值范围,若不存在,请说明理由．

Answer

 【解】（Ⅰ）……………………1分

①当时,,函数在内是增函数,

即函数的单调增区间为……………………2分

②当时,令得,

且时,又时,…………4分

所以函数递增区间为,递减区间为．……………5分

（Ⅱ）假设存在这样的实数,使不等式对恒成立

即恒成立．令,

则,且恒成立…………………………6分

……………………………7分

①当时,,则函数在上单调递减,于是

 与矛盾,故舍去．……………………8分

②当时,

  而当时,由函数和都单调递减．

且由图象可知,趋向正无穷大时,趋向于负无穷大．

  这与恒成立矛盾,故舍去．…………10分

（注:若考生给出抛物线草图以说明,

如右,同样也按该步骤应得分给分）

③当时,等价于（）

  记其两根为（这是因为）

  易知时,,而时,,

  （i）若时,则函数在上递减,于是矛盾,舍去; ………11分

（ii）若时,则函数在上递增,于是恒成立．

所以,即,解得………………12分

综上①②③可知,存在这样的实数,使不等式对恒成立…………13分