Question

如图，点为坐标原点，直线经过抛物线的焦点.

（Ⅰ）若点到直线的距离为，求直线的方程；

（Ⅱ）设点A是直线与抛物线在第一象限的交点．点B是以点为圆心,为半径的圆与轴负半轴的交点．试判断直线与抛物线的位置关系，并给出证明．

Answer

 本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分12分．

解法一：（Ⅰ）抛物线的焦点，………………………………………1分

当直线的斜率不存在时，即不符合题意. ……………………………2分

当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即…………3分

所以，，解得：…………5分

故直线的方程为：，即.…………6分

（Ⅱ）直线与抛物线相切，证明如下：…………7分

（法一）：设，则.…………8分

因为所以.…………9分

所以直线的方程为：，整理得:

把方程（1）代入得：，…………10分

，

所以直线与抛物线相切．…………12分

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）直线与抛物线相切，证明如下：…………7分

设，则.…………8分

设圆的方程为：，…………9分

当时，得，

因为点B在轴负半轴，所以.…………9分

所以直线的方程为，整理得:

把方程（1）代入得：，…………10分

，

所以直线与抛物线相切．…………12分