Question

 如图，在三棱锥中，

，，

设顶点在底面上的射影为．

（Ⅰ）求证:；

（Ⅱ）设点在棱上，且，

试求二面角的余弦值．

Answer

 （本小题满分１4分）

证明：（I）方法一：由平面得，

又，则平面，

故，…………………………………………3分

同理可得，则为矩形，又，

则为正方形，故．…………………6分

方法二：由已知可得，设为的中点，则，则平面，故平面平面，则顶点在底面上的射影必在，故．

（II）方法一:由（I）的证明过程知平面，过作，垂足为，则易证得，故即为二面角的平面角，……………………………9分

由已知可得，则，故，则，

又，则，……………………………………………………………… 故，即二面角的余弦值为．………………………14分

方法二: 由（I）的证明过程知为正方形，如图建立坐

标系，则，

可得，则，易知平面

的一个法向量为，设平面的一个法向量为

，则由得，

则，即二面角的余弦值为．