Question

 ．如图，在直角梯形中，，，且,现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点．

   (I) 求证： ∥平面；

  （Ⅱ）求证： 平面；

 (III) 求二面角的大小．

Answer

（I）证明：取中点，连结．

    在△中，分别为的中点，

 所以∥，且．

    由已知∥，，

 所以∥，且．                    

    所以四边形为平行四边形．

 所以∥．                                

    又因为平面，且平面，

    所以∥平面．                                ………………………4分

（II）证明：在正方形中，．

    又因为平面平面，且平面平面，

    所以平面． 

所以．                                  

在直角梯形中，，，可得．

    在△中，， 所以．

所以． 又                    

 所以平面．                            …………………………8分

（III）由已知及（II）得，两两互相垂直，所以分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则

设平面的法向量为

则由得取得

设平面的法向量为

则由得取得

，

所以二面角的大小为                   …………………12分