Question

 如图，在三棱锥中，，为的中点，⊥平面，垂足落在线段上.

（Ⅰ）证明：⊥；

（Ⅱ）已知，，，.求二面角的大小.

Answer

 本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。满分14分。

（Ⅰ）证明：由AB=AC,D是BC的中点，得AD⊥BC,

      又PO⊥平面ABC,得PO⊥BC。

      因为PO∩AD=0，所以BC⊥平面PAD

故BC⊥PA.

（Ⅱ）【解析】
如图，在平面PAB内作BM⊥PA于M,连CM.

       因为BC⊥PA.，得AP⊥平面BMC.

所以AP⊥CM.

故∠BMC为二面角B-AP-C的平面角。

    在Rt⊿ADB中，AB2=AD2+BD2=41，得AB=

在Rt⊿POD中, PD2=PO2+OD2,

在Rt⊿PDB中, PB2=PD2+BD2,

所以PB2=PO2+OD2+BD2=36，得PB=6.

在Rt⊿POB中, PA2=AO2+OP2=25,得PA=5

又

从而所以

同理CM

因为BM2+MC2=BC2

所以=900

即二面角B-AP-C的大小为900。