Question

在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，

，平面，，

，，．

（Ⅰ）若是线段的中点，求证：平面；

（Ⅱ）若，求二面角的大小．

几何法：

Answer

 证明：（Ⅰ），可知延长交于点，而，，

则平面平面，即平面平面，

于是三线共点，，若是线段的中点，而,

则，四边形为平行四边形，则，又平面，

所以平面；

（Ⅱ）由平面，作，则平面，作，连接，则，于是为二面角的平面角。

若，设，则，，为的中点，，，

，在中,

则，即二面角的大小为。

坐标法：（Ⅰ）证明：由四边形为平行四边形， ，平面，可得以点为坐标原点，所在直线分别为建立直角坐标系，

设，则,.

由可得，

由可得,

，则，，而平面，

所以平面；

（Ⅱ）（Ⅱ）若，设，则，

,则,,

,设分别为平面与平面的法向量。

则，令，则，；

，令，则，。

于是，则，

即二面角的大小为。