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设函数f(x)=ka x- a-x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数. (...

 设函数f(x)=ka x- a-x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数.

(1)求k值;

(2)若f(1)>0,试判断函数单调性并求不等式f(x2+2x)+f(x-4)>0的解集;

(3)若f(1)=,且g(x)=a 2xa - 2x-2m f(x) 在[1,+∞)上的最小值为-2,求m的值.

 

 

解(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数, ∴f(0)=0,∴k-1=0,∴k=1,…………………………………………………… 2分 (2)故f(x)=ax-a-x(a>0,且a≠1) ∵f(1)>0,∴a->0,又a>0且a≠1,∴a>1. ……………………………3分 f′(x)=axlna+=lna ∵a>1,∴lna>0, 而ax+>0,∴f′(x)>0 故f(x)在R上单调递增……………………………6分 原不等式化为:f(x2+2x)>f(4-x) ∴x2+2x>4-x,即x2+3x-4>0 ∴x>1或x<-4, ∴不等式的解集为{x|x>1或x<-4}.…………………………8分 (2)∵f(1)=,∴a-=,即2aa-2=0, ∴a=2或a=-(舍去).……………………………………9分 ∴g(x)=22x+x-2m(2x-2-x)=(2x-2-x) m(2x-2-x)+2. 令t=f(x)=2x-2-x, 由(1)可知f(x)=2x-2-x为增函数 ∵x≥1,∴t≥f(1)=, 令h(t)=tmt+2=(t-m)2+2-m2 (t≥)…………………………12分 若m≥,当t=m时,h(t)min=2-m2=-2,∴m=2 若m<,当t=时,h(t)min=-3m=-2,解得m=>,舍去 综上可知m=2. …………………………………………………………14分
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