Question

 设函数f(x)＝ka ^x- a^-x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．

（1）求k值；

（2）若f(1)>0，试判断函数单调性并求不等式f(x²＋2x)＋f(x－4)>0的解集；

（3）若f(1)＝，且g(x)＝a ^2x＋a ^{- 2x}－2m f(x) 在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m的值．

Answer

解(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，

∴f(0)＝0，∴k－1＝0，∴k＝1，…………………………………………………… 2分

（2）故f(x)＝ax－a－x(a>0，且a≠1)

∵f(1)>0，∴a－>0，又a>0且a≠1，∴a>1. ……………………………3分

f′(x)＝axlna＋＝lna

∵a>1，∴lna>0，

而ax＋>0，∴f′(x)>0

故f(x)在R上单调递增……………………………6分

原不等式化为：f(x2＋2x)>f(4－x)

∴x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0

∴x>1或x<－4，

∴不等式的解集为{x|x>1或x<－4}．…………………………8分

(2)∵f(1)＝，∴a－＝，即2aa－2＝0，

∴a＝2或a＝－(舍去)．……………………………………9分

∴g(x)＝22x＋x－2m(2x－2－x)＝(2x－2－x) m(2x－2－x)＋2.

令t＝f(x)＝2x－2－x，

由(1)可知f(x)＝2x－2－x为增函数

∵x≥1，∴t≥f(1)＝，

令h(t)＝tmt＋2＝(t－m)2＋2－m2 (t≥)…………………………12分

若m≥，当t＝m时，h(t)min＝2－m2＝－2，∴m＝2

若m<，当t＝时，h(t)min＝－3m＝－2，解得m＝>，舍去

综上可知m＝2. …………………………………………………………14分