Question

如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁，AC⊥BC，点D是AB的中点。

   （1）求证：CD⊥平面A₁ABB₁；

   （2）求证：AC₁//平面CDB₁；

   （3）求直线B₁B和平面CDB₁所成角的大小。

Answer

 解法一：（1）证明：∵ABC—A1B1C1是直三棱柱，

∴平面ABC⊥面A1ABB1，

∵AC=BC，点D是AB的中点，

∴CD⊥AB，

∴CD⊥平面A1ABB1………………（3分）

（2）证明：连结BC1，设BC1与B1C的交点为E，

连结DE。

∵D是AB的中点，E是BC1的中点，

∴DE//AC1……………………（5分）

∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，

∴AC1//平面CDB1…………………………（7分）

（3）【解析】
由（1）CD⊥平面A1ABB1，

∴平面CDB1⊥平面A1ABB1，且平面CDB1平面A1ABB1=DB1，

∴直线B1B和平面CDB1所成的角就是B1B和DB1所成的角，

即∠BB1D是直线B1B和平面CDB1所成的角

在Rt△DBB1中，

∵

故，直线B1B和平面CDB1所成的角大小是………………（12分）

解法二

∵在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC=CC1，AC⊥BC，

∵AC、BC、CC1两两垂直

如图，以C为原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴，

建立空间直角坐标系，设AC=BC=CC1=2，则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C­­­1（0，0，2），B1（0，2，2），D（1，1，0）。

（1）证明：∵

∴

CD⊥AB，CD⊥B1B

又ABB1B=B，

∴CD⊥平面A1ABB1……………………（3分）

（2）证明：设BC1与B1C的交点为E，

则E（0，1，1，）

∵

∴

∴DE//AC1…………5分

∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1

∴AC1//平面CDB1…………………………（7分）

（3）【解析】
由（1）CD⊥平面A1ABB1，

∴平面CDB1⊥平面A1ABB1，且平面CDB1平面A1ABB1=DB1，

∴直线B1B和平面CDB1所成的角就是B1B和DB1所成的角，

即∠BB1D是直线B1B和平面CDB1所成的角………………（10分）

∵

∴

∴直线B1B和平面CDB1所成角的大小是………………（12分）

（其它解法酌情给分）