解法一:(1)证明:∵ABC—A1B1C1是直三棱柱,
∴平面ABC⊥面A1ABB1,
∵AC=BC,点D是AB的中点,
∴CD⊥AB,
∴CD⊥平面A1ABB1………………(3分)
(2)证明:连结BC1,设BC1与B1C的交点为E,
连结DE。
∵D是AB的中点,E是BC1的中点,
∴DE//AC1……………………(5分)
∵DE平面CDB1,AC1平面CDB1,
∴AC1//平面CDB1…………………………(7分)
(3)【解析】
由(1)CD⊥平面A1ABB1,
∴平面CDB1⊥平面A1ABB1,且平面CDB1平面A1ABB1=DB1,
∴直线B1B和平面CDB1所成的角就是B1B和DB1所成的角,
即∠BB1D是直线B1B和平面CDB1所成的角
在Rt△DBB1中,
∵
故,直线B1B和平面CDB1所成的角大小是………………(12分)
解法二
∵在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=BC=CC1,AC⊥BC,
∵AC、BC、CC1两两垂直
如图,以C为原点,直线CA,CB,CC1分别为x轴,y轴,z轴,
建立空间直角坐标系,设AC=BC=CC1=2,则C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2),B1(0,2,2),D(1,1,0)。
(1)证明:∵
∴
CD⊥AB,CD⊥B1B
又ABB1B=B,
∴CD⊥平面A1ABB1……………………(3分)
(2)证明:设BC1与B1C的交点为E,
则E(0,1,1,)
∵
∴
∴DE//AC1………………5分
∵DE平面CDB1,AC1平面CDB1
∴AC1//平面CDB1…………………………(7分)
(3)【解析】
由(1)CD⊥平面A1ABB1,
∴平面CDB1⊥平面A1ABB1,且平面CDB1平面A1ABB1=DB1,
∴直线B1B和平面CDB1所成的角就是B1B和DB1所成的角,
即∠BB1D是直线B1B和平面CDB1所成的角………………(10分)
∵
∴
∴直线B1B和平面CDB1所成角的大小是………………(12分)
(其它解法酌情给分)