Question

 在直角坐标系中，点到两点，的距离之和等于，设点的轨迹为。

   （1）求曲线的方程；

   （2）过点作两条互相垂直的直线分别与曲线交于和。

①以线段为直径的圆过能否过坐标原点，若能求出此时的值，若不能说明理由；

②求四边形面积的取值范围。

Answer

 【解析】（1）设，由椭圆定义可知，点的轨迹是以为焦点，

长半轴为的椭圆．它的短半轴，

故曲线C的方程为．

（2）①设直线,，其坐标满足

消去并整理得，

故．

以线段为直径的圆过能否过坐标原点，则，即．

而，

于是，

化简得，所以．

②由①，

，

将上式中的换为得，

由于,故四边形的面积为，（10分）

令，则

，

而，故，故，

当直线或的斜率有一个不存在时，另一个斜率为，

不难验证此时四边形的面积为，

故四边形面积的取值范围是．  （14分）