Question

设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足．

   （1）求数列的通项公式及前项和；

   （2）试求所有的正整数，使得为数列中的项．

Answer

 【解析】
（1）设公差为，则由已知得，两边因式分解，并由等差数列性质得，∵，∴，即，

又由得，解得，,         …………4分

所以的通项公式为，前项和．    …………6分

   （2）方法1：=,

设，则=,               …………8分

∵为数列中的项，是整数，∴为8的约数．因为是奇数，

∴可取的值为，

当，时，，，是数列中的项；

当，时，，数列中的最小项是，不符合．    

∴满足条件的正整数．                   …………12分

方法2：∵为数列中的项，

故为整数，又由（1）知：为奇数，所以．

经检验，符合题意的正整数只有．                 …………12分