Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n = (nÎN^*).

⑴求数列{a_n}的最大项；

⑵设b_n = ，试确定实常数p，使得{b_n}为等比数列；

⑶设，问：数列{a_n}中是否存在三项，，，使数列，，是等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由.

Answer

 解 ⑴由题意an = 2 + ,随着n的增大而减小,所以{an}中的最大项为a1 = 4.…4分

⑵bn =  =  = ，若{bn}为等比数列，

则b – bnbn+2= 0(nÎN* )所以 [(2 + p)3n+1 + ( 2 – p)]2 – [{2 + p)3n + (2 – p)][(2 + p)3n+2 + (2 – p)] = 0(nÎN*)，

化简得(4 – p2)(2·3n+1 – 3n+2 – 3n ) = 0即– (4 – p2)·3n·4 = 0,解得p = ±2. ………………………7分

反之,当p = 2时,bn = 3n,{bn}是等比数列;当p = – 2时,bn = 1,{bn}也是等比数列.所以,当且仅当p = ±2时{bn}为等比数列. ………………………………………………………………10分

⑶因为，，，若存在三项，，，使数列，，是等差数列，则，所以=，……………12分

化简得（*），因为，所以，，所以，，（*）的

左边，

右边，所以（*）式不可能成立，

故数列{an}中不存在三项，，，使数列，，是等差数列. ……………16分