Question

已知函数

(I)讨论函数的极值情况；

(Ⅱ)设试比较

三者的大小；并说明理由。

Answer

【解析】（1）当x > 0时，f （x） = ex– 1在（0，+∞）单调递增，且f （x） > 0；

当x≤0时，．

①若m = 0，f ′（x） = x2≥0, f （x） =在（–∞，0）上单调递增，且．

又f （0） = 0，∴f （x）在R上是增函数，无极植；

②若m < 0，f ′（x） = x（x + 2m） >0，则f （x） =在（–∞，0）单调递增，同①可知f （x）在R上也是增函数，无极值；  4分

③若m > 0，f （x）在（–∞，–2m）上单调递增，在（–2m，0）单调递减，

又f （x）在（0, +∞）上递增，故f （x）有极小值f （0） = 0，f （x）有极大值．  6分

   （2）当x > 0时，先比较ex – 1与ln（x + 1）的大小，

设h（x） = ex – 1–ln（x + 1） （x >0）

h′（x） =恒成立

∴h（x）在（0，+∞）是增函数，h（x） > h （0） = 0

∴ex – 1–ln（x + 1） > 0即ex – 1 > ln（x + 1）

也就是f （x） > g （x） ，对任意x > 0成立．

故当x1 – x2 > 0时，f （x1 – x2） > g （x1 – x2）   10分

再比较与g（x1）–g （x2）= ln（x1 + 1）–ln（x2 + 1）的大小．

=

=

∴g （x1 – x2） > g （x1） –g （x2）

∴f （x1 – x2）> g （x1 – x2） > g （x1） –g （x2） ．                 12分