Question

 （本题满分12）

如图,在三棱锥S-ABC中，ΔABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=,M,N分别为AB,SB的中点。

（Ⅰ）求异面直线AC与SB所成角；   （Ⅱ）求二面角 N-CM-B的大小；

（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离。

Answer

 【解析】

（I）取AC 中点D，连结SD，DB。

  因为SA=SC,AB=BC,所以AC⊥SD且AC⊥BD,所以AC⊥平面SDB.

又SB平面SDB,所以AC⊥SB.所以异面直线AC与SB所成角为90。…………4分

（II）因为AC⊥平面SDB，AC平面ABC, 所以平面SDC⊥平面ABC.

过N作NE⊥BD于E，则NE⊥平面ABC,

过E作EF⊥CM于F，连结NF,则NF⊥CM,

所以∠NFE为二面角N-CM-B的平面角。

因为平面SAC⊥平面ABC, SD⊥AC,所以SD⊥平面ABC.

又因为NE⊥平面ABC，所以NE∥SD。

由于SN=NB,所以NE=SD=,且ED=EB.

在正△ABC中，由平面几何知识可求得EF=.

在Rt△NEF中，tan∠NFE=

所以二面角N-CM-B的大小是arctan.            ………………………………8分

（III）在Rt△NEF中,NF=,所以,

.

设点B到平面CMN的距离为h,

因为,NE⊥平面CMB,

所以  则h=

即点B到平面CMN的距离为。             ………………………………12分