Question

四个纪念币A、B、C、D，投掷时正面向上的概率如下表所示(0 < a < 1).

纪念币	A	B	C	D
概率			a	a

这四个纪念币同时投掷一次，设ξ表示出现正面向上的个数.

(1) 求ξ的分布列及数学期望；

(2) 在概率P (ξ= i ) (i = 0 , 1 , 2 , 3 , 4)中，若P (ξ= 2 )的值最大，求a的取值范围.

Answer

【解析】
(1) P (ξ)是ξ个正面向上的概率，其中ξ的可能取值为0，1，2，3，4.

        ∴P (ξ=0) =(1 - )2(1 - a)2 = (1 - a)2，

            P (ξ=1) =·(1 - )(1 - a)2 +(1 - )2a(1 - a) = (1 - a)

         P (ξ=2)=·()2(1 - a)2 +·(1 - )a(1 - a)

+(1 - )2a2 = (1 + 2a - 2a2)，

         P (ξ=3) =·()2a(1 - a) +·(1 - )a2 = ，

         P (ξ=4) = ()2a2 = a2.

   ∴ξ的分布列为：

ξ

0

1

2

3

4

P

(1 - a)2

(1 - a)

(1 + 2a - 2a2)

a2

  ∴ξ的数学期望为：Eξ=0×(1- a)2+1×(1 - a)+ 2×(1 + 2a - 2a2)+ 3× +

4×a2 = 2a + 1.                                          (7分)

    (2)  ∵0﹤a﹤1,   ∴P (ξ=0) < P (ξ=1), P (ξ=4)﹤P (ξ=3)

    则P (ξ=2) - P (ξ=1) = (1 + 2a - 2a2) - (1-a) = - （2a2- 4a+1）≥0

    P (ξ=2) - P (ξ=3) = (1+2a-2a2)- = - （2a）≥0

由，得 ≤a≤，

即a的取值范围是[ , ].                     (12分)