Question

 四个纪念币A、B、C、D，投掷时正面向上的概率如下表所示（0＜a＜1）．  

纪念币	A	B	C	D
正面向上的概率	1/2	1/2	a	a

将这四个纪念币同时投掷一次，设ξ表示正面向上的纪念币的个数．

（Ⅰ）求ξ的分布列及数学期望；  

（Ⅱ）求在概率p(ξ)中，p（ξ=2）为最大时，实数a的取值范围．

Answer

 （1）ξ可能取值为0，1，2，3，4..其中 p(ξ=0)= (1-)2(1-a)2=(1-a)2 

p(ξ=1)= (1-)(1-a)2+(1-)2·a(1-a)= (1-a)

p(ξ=2)= ()2(1-a)2+(1-)a(1-a)+ (1-)2· a2=(1+2a-2 a2)  

p(ξ=3)= ()2a(1-a)+ (1-) a2=

p(ξ=4)= ()2 a2=a2                               …………………5分

ξ的期望为Eξ=0×（1-a）2+1×(1-a)+2×(1+2a-2a2)+3×+4×=2a+1  ………7分

 (2) ∵0＜a＜1,∴p(ξ=0) ＜p(ξ=1) ，  p(ξ=4) ＜p(ξ=3)

又p(ξ=2)- p(ξ=1)= (1+2a-2 a2)- =－≥0

由, 解得a∈[]   ………12分