Question

 如图1所示，在边长为12的正方形中，点在线段上，且，，作，分别交，于点，，作，分别交，于点，，将该正方形沿，折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱．

（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求四棱锥的体积；

（Ⅲ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

Answer

   （I）证明：在正方形ADD1A中，因为CD=AD－BC=5，

    所以三棱柱ABC—A1B1C1的底面三角形ABC的边AC=5.

    因为AB=3，BC=4，

    所以AB2+BC2=AC2，所以AB⊥BC

    因为四边形ADD1A1为正方形，AA1∥BB1

    所以AB⊥BB1，而BC∩BB1=B，

    所以AB⊥平面BBC1B1.

   （II）【解析】
在因为AB⊥平面BBC1B1，

    所以AB 为四棱锥A—BCQP的高.

    因为四边菜BCQP为直角梯形，且BP=AB=3，CQ=AB+BC=7，

    所以梯形BCQP的面积为，

    所以四棱锥A—BCQP的体积

   （III）【解析】
由（I）、（II）可知，AB，BC，BB1两两互相垂直.以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B—xyz，

    则A（0，0，3），B（0，0，0），

    C（4，0，0），P（0，3，0），

    Q（4，7，0），

    所以

    设平面PQA的一个法向量为    n1=（x，y，z）.

    显然平观BCA的一个法向量为

    设平面PQA与平面BCA所成锐二面角为θ.

    则

    所以平面PQA与平面BCA所成锐二面角的余弦值为