Question

 如图，在三棱锥中，，，，，， 点，分别在棱上，且_，

   （1）求证：平面；

   （2）当为的中点时，求与平面所成的角的正弦值；

   （3）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由．

Answer

 【解析】
（法1）（Ⅰ）∵，，，∴PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又，∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.

   （Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴，

又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵PA⊥底面ABC，

∴PA⊥AB，又PA=AB，∴△ABP为等腰直角三角形，

∴，∴在Rt△ABC中，，∴.

∴在Rt△ADE中，，

∴与平面所成的角的大小.

   （Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，

又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，

∴∠AEP为二面角的平面角，∵PA⊥底面ABC，

∴PA⊥AC，∴.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，

这时，故存在点E使得二面角是直二面角.

   （法2）如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系，设，

由已知可得，，，.

   （Ⅰ）∵，，∴，

∴BC⊥AP.又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.

   （Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，

∴，，∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，

∵，

∴，

∴与平面所成的角的正弦值为。

   （Ⅲ）∵DE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，

又∵DE平面PAC，DE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，

∴∠AEP为二面角的平面角，∵PA⊥底面ABC，

∴PA⊥AC，∴.∴在棱PC上存在一点E，

使得AE⊥PC，这时，

故存在点E使得二面角是直二面角.