已知椭圆抛物线有公共焦点，的中心和的顶点都在坐标原点，过点的直线与抛物线分别相...

已知椭圆抛物线有公共焦点，的中心和的顶点都在坐标原点，过点的直线与抛物线分别相交于两点。

(I)写出抛物线的标准方程；

(II)若，求直线的方程；

(III)若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长轴长的最小值。

【解析】（Ⅰ）由题意，抛物线的方程为：， …………2分（Ⅱ）设直线的方程为：. 联立，消去，得， ………………3分显然，设，则 ① ② …………………4分又，所以 ③ …………………5分由①② ③消去，得，故直线的方程为或 . …………………6分（Ⅲ）设，则中点为，因为两点关于直线对称，所以，即，解之得， …………………8分将其代入抛物线方程，得：，所以，. ………………………9分联立，消去，得： . ………………………10分由，得，即， …………………12分将，代入上式并化简，得，所以，即，因此，椭圆长轴长的最小值为. ………………………13分

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考点分析：

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