Question

已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离为1．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆交于两点，且（为坐标原点），于

点．试求点的轨迹方程．

Answer

 （Ⅰ）【解析】
由题意知：，，，解得．

故椭圆的方程为．…………………………5分

   （Ⅱ）【解析】
设，

（1）若轴，可设，因，则．

由，得，即．

若轴，可设，同理可得．………7分

（2）当直线的斜率存在且不为0时，设，

由，消去得：

则．…………………9分

．

由，知．

故，即（记为①）．11分

由，可知直线的方程为．

联立方程组，得 （记为②）．………13分

将②代入①，化简得．

综合⑴、⑵，可知点的轨迹方程为.…………15分